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曲线系
怎么说，就是方程和满足方程的点是可以相互转化的，那么如果一个点满足两个方程，它也满足这两个方程的和，差，积，非常好对吧！
比如我们现在要求过两动直线交点和另一定点的直线方程，把这个交点解出来再写两点式化简是两步，我们有一个只需一步但是算量没小多少的做法，也就是两直线的线性组合还是直线，那么这两条直线的线性组合肯定也过这个交点，我们解出使它过那个另一定点的系数即可。
经典问题 $y^2=4x$上有三个点$P,Q,R$，过它们作三条切线，并取交点$A,B,C$使得三条切线分别是$BC,AC,AB$，证明$A,B,C,F(1,0)$四点共圆。
设$P(p^2,2p),Q(q^2,2q),R(r^2,2r)$，那么$BC:py-x-p^2=0,AB:ry-x-r^2=0,AC:qy-x-q^2=0$。我们直接算出这个圆，根据曲线系的结论必然存在$a,b,c$满足圆是$aAB\cdot AC+bAB\cdot BC+cAC\cdot BC$，不过我们不会这么说，我们会先猜存在然后算出$a,b,c$对吧。
我们知道如果它是圆那么必然能写成$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-k^2=0$的形式(这也是为啥我们齐次地设了$a,b,c$而非$1,\frac{b}{a},\frac{c}{a}$，如果是后一种设法$x^2$的系数就不一定是$1$了，所以前一种比较好看)，所以开始狂暴比对系数，不过这里只有两个变量$\lambda,\mu$所以肯定很多等价的条件对吧。我们尽量不引入更多变量，所以先不管那些带$x_0,y_0,k$的项。看$x^2$项，我们得到$a+b+c=1$。$y^2$项是$aqr+bpr+cpq=1$。交叉项是$a(q+r)+b(p+r)+c(p+q)=0$，这样已经可以解了。虽然我用了wolframalpha，但是还是解得$a=\frac{1+p^2}{(p-q)(p-r)},b=-\frac{1+q^2}{(p-q)(q-r)},c=\frac{1+r^2}{(p-r)(q-r)}$。
然后说明$F$在圆上，代入$F(1,0)$，得$a(1+q^2)(1+r^2)+b(1+p^2)(1+r^2)+c(1+p^2)(1+q^2)=\frac{(1+p^2)(1+q^2)(1+r^2)((q-r)-(p-r)+(p-q))}{(p-q)(p-r)(q-r)}=0$，这就结束了。实际上这一步应该先做以观察目标的性质，比如蝴蝶定理那里根本不需要算出这几个参数。