好水（
赵神赢在模拟赛里面出了个不知道啥题，然后我转化成算Catalan数的\(k\)次幂的\(n\)次项系数，然而我不知道任何这方面的结论直接无了。
具体数学上面的描述太过惊悚了。讲道理要是有个良好的引入像这个Catalan \(k\)次幂这样的，是不是机械求和法什么的也能看懂?感觉我过一段时间会回来补一句这是不可能的。
广义二项级数\(\mathcal{B}_t\)满足递归式\(\mathcal{B}_t=z\mathcal{B}_t^t+1\)。
广义指数级数\(\mathcal{E}_t\)满足递归式\(\mathcal{E}_t=\exp(z\mathcal{E}_t^t)\)。
结论
\[\begin{aligned}\ [z^n]\mathcal{B}_t^r&=\binom{tn+r}{n}\frac{r}{tn+r}\\ [z^n]\mathcal{E}_t^r&=\frac{r(tn+r)^{n-1}}{n!}\\ [z^n]\frac{\mathcal{B}_t^r}{1-t+t\mathcal{B}_t^{-1}}&=\binom{tn+r}{n}\\ [z^n]\frac{\mathcal{E}_t^r}{1-zt\mathcal{E}_t^t}&=\frac{(tn+r)^n}{n!} \end{aligned}\]其中\(r\)是任意实数。
证明 略。很闲就来写（
看起来前两个用来把gf转化成系数，后两个用来把系数转化成gf。
\(\mathcal{B}_2\)就是Catalan数。于是我们知道Catalan \(k\)次幂的结果就是\(\binom{2n+k}{n}\frac{k}{2n+k}\)。
等着给赵神赢出一手 模板 广义指数级数。