广义二项级数/广义指数级数

好水（

赵神赢在模拟赛里面出了个不知道啥题，然后我转化成算Catalan数的$k$次幂的$n$次项系数，然而我不知道任何这方面的结论直接无了。

具体数学上面的描述太过惊悚了。讲道理要是有个良好的引入像这个Catalan $k$次幂这样的，是不是机械求和法什么的也能看懂?感觉我过一段时间会回来补一句这是不可能的。

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广义二项级数$\mathcal{B}_t$满足递归式$\mathcal{B}_t=z\mathcal{B}_t^t+1$。

广义指数级数$\mathcal{E}_t$满足递归式$\mathcal{E}_t=\exp(z\mathcal{E}_t^t)$。

结论

$$\begin{aligned}\ [z^n]\mathcal{B}_t^r&=\binom{tn+r}{n}\frac{r}{tn+r}\\ [z^n]\mathcal{E}_t^r&=\frac{r(tn+r)^{n-1}}{n!}\\ [z^n]\frac{\mathcal{B}_t^r}{1-t+t\mathcal{B}_t^{-1}}&=\binom{tn+r}{n}\\ [z^n]\frac{\mathcal{E}_t^r}{1-zt\mathcal{E}_t^t}&=\frac{(tn+r)^n}{n!} \end{aligned}$$

其中$r$是任意实数。

证明 略。很闲就来写（

看起来前两个用来把gf转化成系数，后两个用来把系数转化成gf。

$\mathcal{B}_2$就是Catalan数。于是我们知道Catalan $k$次幂的结果就是$\binom{2n+k}{n}\frac{k}{2n+k}$。

等着给赵神赢出一手 模板 广义指数级数。

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