太阳爆了英才，然后被小学奥数题干爆了。拉了。
一类经典问题，从 不知道 进行推理。
从一个笑话开始。三个绝顶聪明的人走进酒吧，招待问，都来一杯啤酒?
第一个人说，我不知道。
第二个人说，我也不知道。
第三个人说，是的。
这个笑话的意思大概是，第一个人说不知道，说明她肯定想要啤酒，不然她就会说不是都要啤酒了。第二个人也是一样的，所以第三个人知道大家都要啤酒。
于是我们知道，不知道 这样的回答也是有信息量的，它表示可能的情况不止一种。
最经典的版本是，有三个绝顶聪明的人A，B，C和五顶帽子，其中三顶是红的而两顶是蓝的。每个人戴了一顶帽子，每个人只能看到别人的帽子，不能看到自己的，目标是猜出自己的帽子是什么颜色。
现在三个人依次发表看法。
A说，我不知道我的帽子是什么颜色。
B说，我也不知道。
C说，我知道了。问C的帽子分别是什么颜色?
不知道 表示可能的情况不止一种，也就是说当时的情况不是唯一确定的情况。
强行讨论一下。最简单直接的做法是，考虑所有可能的情况。它们是 红红红，红红蓝，红蓝红，蓝红红，蓝蓝红，蓝红蓝，红蓝蓝，一共七种。
A不知道，说明
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如果她看到 ~红红，那么有 红红红 和 蓝红红 两种情况，所以啥事没有。
-
如果她看到 ~红蓝，那么有 红红蓝 和 蓝红蓝 两种情况，所以啥事没有。蓝红是一样的。
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如果她看到 ~蓝蓝，那么只有 红蓝蓝 一种情况，所以她不可能看到 蓝蓝。
还剩下六种情况，也就是 红红红，红红蓝，红蓝红，蓝红红，蓝蓝红，蓝红蓝。
B不知道，说明
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如果她看到 红~红，那么有 红红红 和 红蓝红 两种情况，所以啥事没有。
-
如果她看到 红~蓝，那么只有 红红蓝 一种情况，所以她不可能看到 红蓝。
-
如果她看到 蓝~蓝，那么只有 蓝红蓝 一种情况，所以她不可能看到 蓝蓝。
还剩下四种情况，也就是 红红红，红蓝红，蓝红红，蓝蓝红。于是C的帽子必然是红色。
这只适用于可能的情况很少的时候，或者如果可以用计算工具，可能可以支持更大的情况数。
来看一个别的问题。
小学奥数题
有三个人A，B，C，每个人头上贴了一个正整数(也就是说不能是\(0\))。现在大家都知道有两个人头上的数字和等于第三个人头上的。
A说，我不知道我的数字是什么。
B说，我也不知道。
C说，我也不知道。
A说，我还是不知道。
B说，我也不知道。
C说，我知道了，我的是\(144\)。问另外两个人头上分别是什么?
这个问题情况数很多，不得不用计算机来做了。有没有什么手动方法?
有是有的，但是非常惊悚。我们先来介绍一下方法。
每个人只需要考虑自己的数是另两个人的和还是差。
如果最后是某个人X猜出来了，那么我们考虑所有前面有人猜出来的情况，它们都不是真实情况。
而X能猜出来，说明X头上的数是和或者是差的情况已经确定不可能了，而这个不可能是因为前面的人没有猜出来，导致一些情况不可能了。所以我们可以从前面推得当前这个人。
注意到人与人信息是不对等的，但是随着游戏的进行，每个人掌握的信息量都在增加。于是我们可以只考虑前面两个人，而不需要考虑前面所有人。
考虑使用三个数的比来表示一个情况。
第一轮，A猜出来的情况只可能是\(b=c\)这样的，因为此时\(b-c=0\)，而我们要求是正整数。这是\(2:1:1\)。
A没猜出来而B猜出来了。显然首先可以是\(1:2:1\)。
不是\(2:1:1\) 这件事说明如果B看到\(2:?:1\)的话，她不能是差，那么我们知道B必然是和，也就是\(2:3:1\)。
AB都没猜出来而C猜出来了。显然首先可以是\(1:1:2\)。
不是\(2:1:1\) 这件事说明如果C看到\(2:1:?\)的话，她不能是差，那么我们知道C必然是和，也就是\(2:1:3\)。
不是\(1:2:1\) 这件事说明如果C看到\(1:2:?\)的话，她不能是差，那么我们知道C必然是和，也就是\(1:2:3\)。
不是\(2:3:1\) 这件事说明如果C看到\(2:3:?\)的话，她不能是差，那么我们知道C必然是和，也就是\(2:3:5\)。
你可以发现什么规律?
我们用\(a:b:c\rightarrow d:e:f\)表示上面的推理过程。
第二轮。
A :
\[\begin{aligned} 1:2:1 &\rightarrow 3:2:1\\ 2:3:1 &\rightarrow 4:3:1\\ 1:1:2 &\rightarrow 3:1:2\\ 2:1:3 &\rightarrow 4:1:3\\ 1:2:3 &\rightarrow 5:2:3\\ 2:3:5 &\rightarrow 8:3:5\\ \end{aligned}\]为什么没有\(2:1:1\)了?因为那个在第一轮就会被猜出来。实际上这相当于是有一个第零轮，它的存在就是用来表示题目给出的不合法的情况。
B :
\[\begin{aligned} 1:1:2 &\rightarrow 1:3:2\\ 2:1:3 &\rightarrow 2:5:3\\ 1:2:3 &\rightarrow 1:4:3\\ 2:3:5 &\rightarrow 2:7:5\\ 3:2:1 &\rightarrow 3:4:1\\ 4:3:1 &\rightarrow 4:5:1\\ 3:1:2 &\rightarrow 3:5:2\\ 4:1:3 &\rightarrow 4:7:3\\ 5:2:3 &\rightarrow 5:8:3\\ 8:3:5 &\rightarrow 8:13:5\\ \end{aligned}\]C :
\[\begin{aligned} 3:2:1 &\rightarrow 3:2:5\\ 4:3:1 &\rightarrow 4:3:7\\ 3:1:2 &\rightarrow 3:1:4\\ 4:1:3 &\rightarrow 4:1:5\\ 5:2:3 &\rightarrow 5:2:7\\ 8:3:5 &\rightarrow 8:3:11\\ 1:3:2 &\rightarrow 1:3:4\\ 2:5:3 &\rightarrow 2:5:7\\ 1:4:3 &\rightarrow 1:4:5\\ 2:7:5 &\rightarrow 2:7:9\\ 3:4:1 &\rightarrow 3:4:7\\ 4:5:1 &\rightarrow 4:5:9\\ 3:5:2 &\rightarrow 3:5:8\\ 4:7:3 &\rightarrow 4:7:11\\ 5:8:3 &\rightarrow 5:8:13\\ 8:13:5 &\rightarrow 8:13:21\\ \end{aligned}\]一共有这么多解，也就是说形成这样比例的初始情况就会在对应的轮被对应的人猜中。
不过这里限制了第三个数是\(144=2^4\times 3^2\)，所以只有\(3:1:4,1:3:4,2:7:9,4:5:9,3:5:8\)五个情况是有可能的。它们分别对应\((36,108,144),(108,36,144),(32,112,144),(64,80,144),(54,90,144)\)。
你可能发现了一些有趣的结论。比如归纳可以发现，最先猜出来的一定是那个和，并且这个方案数满足斐波那契数列的递推式，但是它的边界不太一样。
下面我们讨论若干引申问题。
给一个情况，它是否可以被猜出来?如果可以，如何判断它在第几轮被猜出来?
这需要我们反着搞回去。首先给三个数约掉\(\gcd\)。
考虑一定是那个和猜出来的，不妨认为她是C。她能猜出来，是刚才AB没猜出来给了她足够的信息，设三个数分别是\(a,b,a+b\)，那么AB猜不出来告诉C，不可能是\(a,b,\vert a-b\vert\)，也就是说这两个人里面有一个可以把这个东西猜出来。显然这个人应该是\(a,b\)中更大的，因为和会先猜出来。
我们可以用这个算出猜了多少次，于是就知道猜了多少轮了。具体一点，我们写一个\(f(a,b,a+b)\)，分别表示ABC三个人。
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如果\(a=b=1\)，返回\(1\)。
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如果\(a>b\)，返回\(2+f(b,a-b,a)\)
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如果\(a<b\)，返回\(1+f(b-a,a,b)\)
看起来很像辗转相除，这个是不是也能做到1\(\log\)?
我们把那个和的位置扔掉。你发现完全一致（
于是我们也知道，任何情况都可以被猜出来。
下一个问题。如果是别的限制，甚至同时有别的人数，会发生什么?比如我们知道两个数之和是另一个数的二倍?
不知道。可能方法是普适的吧。