感觉一点都不绝捏。把多重集写成多元gf来考虑就会简单了吧。
公式如果出现问题，可以右键任意一个公式，选择Math Settings->Math Renderer->Common HTML，可以解决一部分问题。
众所周知莫比乌斯反演就是多重集的子集反演，gcd就是min，lcm就是max。说完了。
具体一点?一个数的质因子集合是一个多重集，这个多重集上的子集反演就是莫比乌斯反演，它的系数\(\mu(T)\)定义为每一组相同元素的\(\mu\)值的积，其中每一组元素的\(\mu\)值定义为 :
如果这一组啥也没有，或者说没有这个质因子，那么贡献\(1\)。
如果这一组有一个，或者说这个质因子次数是\(1\)，那么贡献\(-1\)。
如果超过一个，那么贡献\(0\)。
这就是莫比乌斯函数。
一堆数取\(\gcd\)的时候，相当于把它们每一个质因子上的次数拿出来组成一个可重集，然后求一个\(\min\)再乘起来，这里就可以使用min-max容斥把\(\min\)变成\(\max\)，或者说把\(\gcd\)变成\(\mathrm{lcm}\)。同理可以把\(\mathrm{lcm}\)变成\(\gcd\)，这个常用一些，因为\(\gcd\)性质好的多。
式子大概长这样(空集\(\gcd\)为\(1\)) :
\[\mathrm{lcm}(S)=\prod_{T\subseteq S,T\neq\varnothing}gcd(T)^{(-1)^{\vert T\vert+1}}\]看到多元\(\mathrm{lcm}\)的时候可以考虑这个式子(或者直接考虑每个质因子的贡献)，毕竟硬拆\(\mathrm{lcm}\)真的不是人类应该承受的折磨。
对于\(\prod\)，莫反有另外一个形式是
\[g(n)=\prod_{d\vert n}f(d)\Leftrightarrow f(n)=\prod_{d\vert n}g(d)^{\mu(\frac{n}{d})}\]可以使用莫反的基本形式直接证明。
例题 :
loj#6102. 「2017 山东二轮集训 Day1」第三题
呃非常奇妙。
看到斐波那契，众所周知\(\gcd(f(i),f(j))=f(\gcd(i,j))\)，但是对于\(\mathrm{lcm}\)貌似没有这种性质?
考虑怎么把多元的\(\mathrm{lcm}\)变成\(\gcd\)。用上面的式子，可以得到
\[\begin{aligned} \mathrm{lcm}(f(S))=&\prod_{T\subseteq S,T\neq\varnothing}\gcd(f(T))^{(-1)^{\vert T\vert+1}}\\ =&\prod_{T\subseteq S,T\neq\varnothing}f(\gcd(T))^{(-1)^{\vert T\vert+1}} \end{aligned}\]用上面的莫反，构造\(g(n)=\prod_{d\vert n}f(d)^{\mu(\frac{n}{d})}\)，干掉这个\(\gcd\)!
\[\begin{aligned} &\prod_{T\subseteq S,T\neq\varnothing}f(\gcd(T))^{(-1)^{\vert T\vert+1}}\\ =&\prod_{T\subseteq S,T\neq\varnothing}\prod_{d\vert T}g(d)^{(-1)^{\vert T\vert+1}}\\ =&\prod_{d}g(d)^{\sum_{T\subseteq S,T\neq\varnothing,d\vert T}(-1)^{\vert T\vert+1}} \end{aligned}\]指数上那个东西好像在哪见过。还记得子集反演的经典推论吗?
\[\sum_{T\subseteq S}(-1)^{\vert T\vert}=[S=\varnothing]\]那么上面那个好像就是说，只留下\(S\)中\(d\vert a\)的元素\(a\)们，如果得到空集那么值是\(0\)，否则是\(1\)。为什么是反着的?注意符号是反的，并且去掉了空集。
\[\begin{aligned} =&\prod_{d}g(d)^{\sum_{T\subseteq S,T\neq\varnothing,d\vert T}(-1)^{\vert T\vert+1}} =&\prod_{\exists a\in S,d\vert a}g(d) \end{aligned}\]所以我们得到了一类新的套路 : 用min-max容斥干掉\(\mathrm{lcm}\)，然后用子集反演干掉枚举子集。