今天切什么

不知道。继续看就知道了!那么这一页为什么存在呢?

放了一些比较educational的题，希望可以让大家有事干。技术水平要求不是很高，应该可以随时断线重连吧（

$\infty$表示一个非常大的数。

请提醒我对电子白板截图并塞进这里面。

但是还是忘了这件事!

建图

一些建图问题。

基础建图练习

ctt2017 无限之环

棋盘上每个格子有一个水管，水管有以下这些种。

你每次可以选择一个向任意方向旋转90度，I型水管是不能旋转的，求最小的旋转次数，使得没有一个接头没有和另一个接头对上。

hint

匹配。匹配。

solution

考虑到网络流之后，首先考虑都不转怎么做。黑白染色，让黑格的接头匹配白格的接头即可。

如果可以转。考虑Q型

直接连。考虑L型

相当于横向和纵向是独立的，分别拆点即可。考虑T型

可以解方程解出每个位置的代价。也可以多加几条边。

联合省选2022 学术社区

不会写形式化题意。大家可以，自己看一下!

hint

类似最小边不交路径覆盖来做。

solution

考虑性质C。如果$i$后面接$j$可以让其中一条合法，就给$i$的出点连到$j$的入点，然后跑二分图匹配。

但是有问题，如果跑出了一个环，有一条边就需要出现两次。注意到一个点上的所有环可以合为一个，而每个点都有至少一个学术消息，把环挂到学术消息上就行了，此时它还是可以相当于一个学术消息来用。

对于楼上楼下的二元环，直接把它俩放在一起是不劣的，因为如果有一个最优解中它俩不在一起，改为连着后面挂着的东西接到一起就是不劣的。

为了构造方案，不停从一条还没用的消息出发往两边dfs即可。如果找到了环则挂给环上任何一个点的学术消息，如果找到了链则加入答案。

cf1404 E. Bricks

棋盘，每个格子可能是黑色或白色，你要用若干宽度为$1$的横条或者竖条覆盖所有黑格子，不能交叉，也不能覆盖到白格子，求最少用多少个。$n,m\leq 200$。

hint

匹配。匹配。

考虑每条格子边是不是在一个条的内部。

solution

也就是，一个格子的两条相邻的边不能同时在内部，至少一侧是白格子的边不能在内部。二分图最大独立集即可。

循环流

最小费用循环流。具体地，每个点入流等于出流，每条边流量不超过上限。

hint

如果没有可以增广的负环，则找到了一个最小费用循环流。

考虑先不管入流等于出流，消掉所有负环，然后用有源汇费用流消掉超额流。

solution

先把所有正权边充满，然后进行调整使得入流等于出流。源提供正的超额流，也就是说删掉源之后超额流为负，所以源连到每个超额流为正的点，汇连到每个超额流为负的点，以把超额流抵消成$0$。

可行流

边还有流量下限。

solution

先把所有边充到下限，然后变成有超额流的最小费用循环流问题。一开始有超额流并没有带来什么困难。

noi2008 志愿者招募

序列，给若干个区间，每个有一个费用，你可以支付费用并给区间$+1$，一个区间可以选多次。每个位置有一个$\geq a_i$的限制。求满足所有限制的最小花费。

hint

这是一个经典题。

单源汇流的问题在于，我们不知道这个流量是从哪来的，因此不知道它应该到哪去。

solution

循环流。用一条边表示一个区间，那么它可以在一端提供正的超额流，另一端提供负的超额流。

对于序列的限制，最小费用可行流即可。

arc137 E. Bakery

序列，给若干个区间，每个有一个费用，你可以支付费用并给区间$+1$，一个区间只能选最多一次。每个位置加到$a_i$则不会再增加。最后你会获得序列总和$\times d$的价值，最大化价值减去花费。

hint

这是一个简单题。

solution

循环流。用一条边表示一个区间，相邻两个位置之间连一条容量$a_i$费用$d$和一条容量$\infty$费用$0$的边表示对$a_i$取$\min$。

最小割

以下默认权值都是正的。

hnoi2013 切糕

$n\times m$的棋盘，每个位置填一个$1,...,k$中的数，给出每个位置填每个数的代价。四连通的格子填的数不能相差超过$d$。求最小代价。

solution

二维问题还是比较劲爆。每个格子建一条链，割第$i$条边表示填$i$，容量为$\infty$加上代价。黑白染色，对于相邻两个格子的两个相差$>d$的选择$i < j$，从$i$的下侧连到$j$的上侧，容量为$\infty$。

当然这些边只有相距恰好$d$的是有用的。

也许是不知道哪年ctt 人员雇佣

有$n$个人，每个人选有一个代价$a_i$，每两个人$i,j$(无序)如果都选贡献$2e_{i,j}$，一个选一个不选贡献$-e_{i,j}$，都不选没有贡献，最大化总贡献。

hint

这里是最大化，所以先选所有正权的东西。

solution

先配凑，如果$i$选，花费$a_i$，否则花费$\sum\limits_j e_{i,j}$。如果$i,j$一个选一个不选，额外花费$2e_{i,j}$。直接建即可。

当然有各种别的建图。

thupc22 I. 分组

有$n$对人。每个人可以选择愿意或不愿意合作，各有一个代价，如果一对人都选择愿意，那么这一对可以选择合作或不合作，否则只能选不合作。如果一对中两个人选择不同，会产生一个代价。有若干个跨对的单向关系$i\rightarrow j$，表示 : 如果$i$的对不合作，而$j$选择愿意，会产生一个代价；如果$i$选择不愿意，而$j$的对选择合作，会产生另一个代价。求一个选择最小化代价。

hint

大力放进去所有东西。

solution

每个人建一个点，每个对建一个点，不割哪边表示选哪边，边权比较显然。

特殊图

单位圆图最大团

平面上有一些点，两个点距离$\leq 1$则连边，求最大团。$n\leq 100$。

hint

需要性质。

solution

最大团必然包含在其中最远点对 分别为中心，半径为$1$的圆 的交中。从中间画一条线，其补图是二分图。

ccpc2021 Weihai L. shake hands

序列，一开始是$1,...,n$，有若干次操作，每次交换相邻两个数，并在这两个数之间连边，求最大团。$n\leq 10^5$。

hint

需要性质。

solution

注意到如果$i< j< k$，$i,j$没有换过，$j,k$没有换过，那么$i,k$也没有换过。也就是说$<$并且没有换过是一个偏序关系，那么这是一个可比图。可比图的最大独立集就是最长反链。

至于怎么快速跑最长反链，如果剩下时间再讲。

模拟费用流

在特殊图上更快地求解费用流。

凸性

显然费用流的答案随流量是凸的，因为沿最短路增广，每轮增广后，到每个点的最短路都不会变短。

xx open cup gp of kazan H. Honorable Mention

序列，查询区间选恰好$k$段非空的最大子段和。$n,q\leq 5\times 10^4$。

hint

凸函数处理全家桶。

在序列上建线段树。

solution

状压两侧的情况，线段树每个点闵和一个凸函数。查询的时候我们要合并$\log$个凸函数并求一点的值，可以wqs二分。复杂度$O(n\log^3 n)$，分散层叠一下可以砍一个$\log$。

pre-knowledge

看起来我要说的不少。

模拟

真的去跑这个费用流，但是利用性质可以优化。

相比wqs二分，模拟/直接维护凸函数 可以求出所有流量的答案。

一些简单结论

显然我们只需要找到权值最小的增广路/任意一个负环。

如果一开始没有负环，那么每次找权值最小的增广路也不会产生负环，因为到每个点的最短路不会变短。

简单推论是，如果没有负环，不停找增广路，那么连源/汇的边不会退流，因为退源汇边的流就找到了负环。

存在一个权值最小的增广路/负环经过每个点最多一次，否则它可以拆成一个增广路/负环和一个负环，其中一个权值必然更小。

xx open cup gp of spb F. Festive Baobab

有根树，每条边有一个价值，你要选$k$条边，一条边可以选多次。每个子树还有一个选的个数上限。最大化价值。$n\leq 2\times 10^5,k\leq 10^9$。

hint

这是一个签到题。

solution

可以发现这里压根不会反悔，因为你只能沿着树往下走。

按价值从大到小扫，树剖线段树维护能增广多少。

icpc20 Shenyang L. Forged in the Barrens

序列，对于每个$k$，求把序列划分成$k$段，每段极差之和的最大值。$n\leq 2\times 10^5$。

hint

把极差改成任意两个数的差。

solution

费用流，从钦点的$\min$流到钦点的$\max$，这里需要不交所以拆点限制一下。这就证明了凸性，接下来可以状压两侧的情况分治闵和，或者直接模拟费用流。

具体描述后者。源汇边不会退流，也就是说选了的会一直被选。可能的操作有，把一对从中间炸开变成两对，或者在两对之间再选一对。

线段树维护区间 前面选$\min$，后面选$\max$ 的最大差，或者反过来，然后全局开个堆，每次取出一段之后，把分裂出来的部分再扔回堆里即可。

pa2013 Raper

$n$天，有$k$个物品需要先后经过AB两间工厂加工，每天每间工厂只能加工一个物品，并且每天有一个费用，求最小的总费用。$n\leq 5\times 10^5$。

hint

这是一个强硬题。

solution

可能的增广路有，从左往右或者从右往左。从右往左要求这一段都有向右的流量。

大力线段树。对于从左往右，也就是左边选一个$a$，右边选一个$b$的$\min$，和上个题是差不多的。对于从右往左，直接维护两边有流量的部分。主要问题是打加减法标记的时候怎么做，发现只要$\min>0$那从右往左也是几乎自由的了，而$\min$不可能$<0$，所以维护自由选的最优策略，以及(通过整体减)减到$\min=0$之后的最优策略即可。

洛谷1484 种树

序列，选$k$个数，不能选相邻的两个，求最大和。$n\leq 5\times 10^5$。

hint

最大权独立集。链当然是二分图!

需要一点性质。

solution

这是一个二分图最大权匹配。考虑增广路的形态，必然是把一段选了恰好一边的取反，然后选它的一边。

考虑相邻的三段。

也就是说每选择一段会合并它和两边。链表维护即可。

集训队胡策2022 R1 A. Astral Brith

$01$序列，对每个$k$，求划分成$k$段并重排得到的lis长度最大值。$n\leq 3\times 10^5$。

hint

考虑很多个性质。有没有老哥来猜点性质?

solution

转而考虑不在lis中的数，我们把它们都扔掉，剩下的数会形成若干段，这个段数$-1$几乎就是需要的步数，$-1$是因为有一段可以是前一半0后一半1，几乎是因为还需要考虑整个序列前面全1后面全0的情况，不过我们先不考虑它。

考虑先把相同的一段缩成一个，显然相同的一段要么都扔要么都留。我们在中间扔一个数，会合并两边，于是减少了两段，而扔两边则只减少一段。如果直接贪心选可能会扔相邻的两个，此时减少的段数是错误的，但是显然相邻的两段不会同时被扔，因为只扔一段就可以把另一段并入别的一段。

看起来 不能选相邻的两个，求最大和 这个问题就是 种树。枚举两边扔不扔，我们就知道要选多少个中间的，然后 种树 即可。

加边

有些时候按某种顺序加点/边并考虑新产生的增广路和负环会更简单。

此时 存在一个权值最小的增广路/负环经过每个点最多一次 仍然成立。

cf865 D. Buy Low Sell High

给一支股票接下来$n$天的价格，一开始你持有$0$股，每天你可以买一股，卖一股，什么都不做，你的钱可以变成负数，但是持有的股票数不能是负数，求最大收益。$n\leq 3\times 10^5$。

hint

先建个费用流出来。从左往右加点，大力考虑所有可能的增广路和负环。

solution

加入一天的时候，新增的增广路有，在之前某一天买，在这一天卖；负环有，不再在之前某一天卖，而是在这一天卖。直接维护即可。

uer8 雪灾与外卖

数轴上有若干送餐员和餐馆，坐标序列分别是$x,y$，每个餐馆$i$有$c_i$份价格$w_i$元的菜，送餐员$i$到餐馆$j$取餐需要花费$\vert x_i-y_j\vert$元，求让每个送餐员都取到一道菜的最小花费。$n,m\leq 10^5$。

hint

先建个费用流出来。从左往右加点，大力考虑所有可能的增广路和负环。

需要一些劲爆性质。

solution

原来的版本写挂了。请见 [感性理解 uer8 雪灾与外卖](https://shanlunjiajian.blog.uoj.ac/blog/8238) 。

怪题

cf724 E. Goods transportation

源到每个点连容量为$p_i$的边，每个点到汇连容量为$s_i$的边，还有一个数$c$，对于点$i< j$，$i$到$j$连容量为$c$的边。求最大流。$n\leq 5000$，可以做到$n\leq 10^6$。

hint

转为最小割。

solution

也就是要把点分入$S,T$两个集合，选$S,T$各有代价，并且如果$i< j$，$i,j$不在同一集合，要付出$c$的代价。

已经可以dp，设$dp(i,j)$表示前$i$个，有$j$个在$S$中的最小代价，转移显然。

存在一个离奇贪心。考虑如果没有$i< j$，那么如果选了$k$个$S$，总要付出$k(n-k)$次$c$。所以我们枚举$k$，也就是先全选$S$，然后找到$s-p$前$k$小的改为选$T$。

现在有$i< j$。配凑，让$p_i\leftarrow p_i+(n-i)c$，那么我们恰好会多付出$\binom{k}{2}$次$c$。

Thanks for Listening!

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