ShanLunjiaJian
生成函数是组合对象在代数结构上的投影。——EI
这句话说的很好，但是当你尝试理解，你会感觉它好像说了什么又好像没有说（
大概是说，把数数问题中的东西翻译成一个函数，然后用代数手段处理它得到数数问题的答案。
在cts以下的ccf组织的赛事中大概不会出现法法塔，所以那些$O(n\log n)$的法题我们只需要爆力做到$O(n^2)$就好了。
很遗憾，sdoi会出现法法塔。
fib数列的gf。看我口胡。
gf入门的重要一步就是学会用卷积描述问题。
求周长为$n$的三角形个数。$n\leq 10^{18}$。
是三角形，等价于三边分别小于$\frac{n}{2}$。表演一下。
01背包，支持插入一个物品，删除一个物品，查询凑出体积$m$的方案数。$m,q\leq 5000$。
也就是卷上$1+z^k$或$\frac{1}{1+z^k}$。前者是简单的，后者展开考虑其效果。
完全背包呢?
也就是卷上$\frac{1}{1-z^k}$或$1-z^k$。两个都是简单的。
实际上$\frac{1}{1-\alpha z}$都可以$O(n)$地卷上去。
有些时候我们可能想要描述两个东西有序地插起来，或者说把两个有标号集合合并的时候需要重新分配标号，这种东西对应的卷积称为二项卷积，而二项卷积是egf的普通卷积。
类似地，狄利克雷卷积是狄利克雷生成函数的普通卷积，那么谁来构造一下狄利克雷生成函数?
求导和积分对应egf的系数平移，正如乘$z$和乘$\frac{1}{z}$对应ogf的系数平移。
生成函数的微积分被称为形式微积分，也就是说它只是按照多项式求导积分这么搞了一个东西，它和原来的求导积分具有几乎一样的性质，但是它不具有任何实际意义，所有的性质都是在形式上成立。有结论保证了我们在处理gf的时候总是不需要考虑收敛性，感觉一下你可能会觉得这很优美。
给$n$，求$\displaystyle \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f_i$，其中$f$是斐波那契数。
打表观察，发现答案是斐波那契数$f_{2n}$，于是矩阵快速幂就做完了，单组复杂度$O(\log n)$。
这个东西是二项卷积，所以我们使用egf，于是它相当于卷上一个$e^z$。关于fib数的egf，我们有微分方程$F^{\prime\prime}-F^\prime-F=0$，这个实在是懒得解，我们直接卷上$e^z$得到$e^zF^{\prime\prime}-e^zF^\prime-e^zF=0$。我们希望把它凑成$e^zF$的一个微分方程，也就是说求导的时候都是对$e^zF$求导，而不是只对$F$求导。
我们强行做这个事情。
给$e^zF^{\prime\prime}$凑一个$e^zF+2e^zF^\prime$，我们得到$(e^zF)^{\prime\prime}-e^zF^\prime-e^zF=e^zF+2e^zF^\prime$，移项得$(e^zF)^{\prime\prime}-3e^zF^\prime-2e^zF=0$。
给$-3e^zF^\prime$凑一个$-3e^zF$，我们得到$(e^zF)^{\prime\prime}-3(e^zF)^\prime-2e^zF=-3e^zF$，移项得$(e^zF)^{\prime\prime}-3(e^zF)^\prime+e^zF=0$，于是我们知道它的递归式就是$a_n=3a_{n-1}-a_{n-2}$。同时斐波那契数的递归式是$f_{2n}=f_{2n-1}+f_{2n-2}=2f_{2n-2}+f_{2n-3}=3f_{2n-2}-f_{2n-4}$，所以它俩确实是一样的。
这个题的启发是，生成函数的封闭形式固然体现了它的性质，但是有些时候它所满足的方程更加实用。在处理微分方程的时候这一点尤为突出，因为微分方程很难解出一个封闭形式，但是它确定了系数的递推式，更准确地说是一个整式递推。
求$n$个点的有标号强连通竞赛图数量。你只需要给出它的egf。
可以发现任意竞赛图是若干个强连通竞赛图串起来，而任意竞赛图是容易数的。考虑建立它们之间的方程。
设$[z^0]G=1,n![z^n]G=2^{\frac{n(n-1)}{2}}$为任意竞赛图的egf，可以知道$G=GF+1$，也就是任意非空竞赛图是$1$所在的scc和剩下的部分拼起来，而空竞赛图是$1$，于是我们知道$F=1-\frac{1}{G}$。
让我来表演一下默写定义。
可以看出$\exp$的组合意义，也就是选择任意个东西无序地拼起来，而$\ln$是其逆运算。
它叫$\exp$是因为具有那个组合意义的式子正好跟$e^z$的泰勒展开式一样，而$\ln$是$\ln$在$1$处泰勒展开得到的东西。
求$n$个点的有标号有根树数量，不区分儿子的顺序。你只需要给出egf方程。
$F=z\exp F+1$，也就是非空树是任意个儿子无序地拼起来再接上自己，空树就没有自己了，并且空树只有一种。
根据prufer序列的结论，或者直接对这个拉格朗日反演，可以知道$[z^n]F=n^{n-1}$。
求$n$个点的有标号内向基环树数量。
注意到内向基环树每个点有恰好一条出边，于是考虑每个点有恰好一条出边的图是内向基环树森林，这样的图有$n^n$个，看起来它是内向基环树的$\exp$，所以我们对内向基环树森林取$\ln$即可。
加减乘和微积分是简单的，根据定义算就好了。加减微积分是线性，乘是$O(n^2)$。
除也就是求逆，求$G$的逆，设为$F$，说的是$\sum\limits_{i+j=k}f_ig_j=[k=0]$这样的，所以从低到高做，就得到一个$f_k$的方程。
$\ln$的话，考虑$(\ln G)^\prime=\frac{G^\prime}{G}$，所以可以一次求逆，一次乘法，一次积分搞定。
$\exp$的话，考虑$(\exp G)^\prime=G^\prime\exp G$，两边提取$[z^k]$我们得到$(k+1)f_{k+1}=\sum\limits_{i+j=k}g^\prime_if_j$这样的。
可以用$\ln-\exp$实现幂，也就是$\exp \ln F^n=\exp n\ln F$。需要注意常数项是$1$才能$\ln$，常数项是$0$才能$\exp$，所以这个需要提一提这样的。也可以直接求导，也就是$(F^n)^\prime=nF^{n-1}F^\prime$，然后提取系数也结束了。当你不知道干什么的时候就求个导。
卡特兰数定义为$n$个点的无标号二叉树个数，区分左右儿子。请给出卡特兰数的ogf和通项。
$\displaystyle\frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z}$。
展开的时候会出现$1\times 3\times 5\times 7...$这样的东西，注意到缺失的项类似于$2^nn!$即可。
循环卷积也就是膜$z^p-1$的卷积。这里说一下如何理解多项式膜多项式。
可以直接用卷积描述。
考虑最后的情况是有若干段，每一段必然是从中间某个位置往两边选走选出来的。
考虑时间倒流，可以知道，长$l$的段方案数就是$2^{l-1}$。
考虑一段的egf，它是$\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\frac{2^{i-1}z^i}{i!}=\frac{1}{2}(e^{2z}-1)$。
枚举选了多少个空，答案就是$\displaystyle\sum_{i=0}^n[z^{n-i}]\left(\frac{e^{2z}-1}{2}\right)^{i+1}$。每次卷一个东西上去即可，容易$O(n^3)$计算。
为了做到$O(n^2)$，考虑使用二项式定理展开后面的东西。
有$n$个球和$m$个盒子，球要全部装进盒子里，还有一些限制条件(接下来逐个给出)，求放完之后可能的情况有多少种?
你可以只给出关于$n,m$多项式复杂度的计算方法(而不必优化到$O(n\log n)$)。
1. 球之间互不相同，盒子之间互不相同。
$m^n$。
2. 球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。
先考虑哪些盒子装了，然后分配，也就是$\displaystyle\binom{m}{n}n!=m^{\underline{n}}$。
3. 球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。
容斥，答案是$\displaystyle\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{m}{i}(m-i)^n$。
4. 球之间互不相同，盒子全部相同。
也就是说一个盒子由它里面的球来区分，只要一个盒子装了球它就可以和别的盒子区分开，而所有没装的盒子是一样的，于是枚举有多少个盒子装了球。那么可以发现这个就是斯特林子集数(第二类斯特林数)。问题是求第二类斯特林数行前缀和，递推即可。
5. 球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。
如果$n\leq m$答案是$1$，否则是$0$。
6. 球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。
直接就是斯特林子集数。
7. 球全部相同，盒子之间互不相同。
使用隔板法，答案是$\binom{n+m-1}{m-1}$。
8. 球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。
$\binom{m}{n}$。
9. 球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。
相当于7中先往每个盒子放一个，所以答案是$\binom{n}{m-1}$。
10. 球全部相同，盒子全部相同。
考虑因为球无标号，盒子之间的区别就是球的个数；因为盒子无标号，我们可以任意重排，所以不妨把它排序。然后你就可以dp了，不过这里我们用gf来理解它。
相当于我们要选若干个大小为$0$的盒子，大小为$1$的盒子，大小为$2$的盒子......其中大小为$k$的盒子的gf应该是$\frac{1}{1-tz^k}$，这里我们引入一个新变量$t$，它的指数表示盒子的个数，最后答案就是提取$z^nt^m$这一项。也就是说我们要求$\displaystyle[z^nt^m]\prod_{k=0}^\infty\frac{1}{1-tz^k}$。但是二元gf比较复杂，能不能避开它?
这个东西看起来像分拆数，我们画一个Ferrers图 :
可以发现转置之后，从$m$个盒子，每个盒子放任意个球，变成了任意个非空盒子，每个盒子放不超过$m$个球。有人来写一下现在答案是什么吗?
$\displaystyle[z^n]\prod_{k=1}^m\frac{1}{1-z^k}$。
$\displaystyle[z^n]\prod_{k=1}^m\frac{1}{1-z^k}$。
现在计算这个是$O(n^2m)$的。考虑如何优化到$O(n^2)$。
$$ \begin{aligned} &[z^n]\prod_{k=1}^m\frac{1}{1-z^k}\\ =&[z^n]\frac{1}{\prod\limits_{k=1}^m(1-z^k)}\\ =&[z^n]\frac{1}{\exp -\sum\limits_{k=1}^m\sum_{i=1}^\infty\frac{z^{ki}}{i}}\\ =&[z^n]\frac{1}{\exp -\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{i}\sum\limits_{k=1}^mz^{ki}}\\ \end{aligned} $$
因为右边那个东西只对$z^{ki}$这样的项有贡献，我们直接算就是调和数的$O(n\log n)$，然后$\exp$再求逆就好了。
套路就是，看到一串东西乘起来，就考虑取$\ln$变成一串东西加起来，最后$\exp$回去。
11. 球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。
如果$n\leq m$答案是$1$，否则是$0$。
12. 球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。
类似于9，先往每个盒子放一个即可。
生成函数是组合对象在代数结构上的投影。——EI
这句话说的很好，但是当你尝试理解，你会感觉它好像说了什么又好像没有说（
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