关键词 : 生成函数 微分有限
仅供各位看一看信息学竞赛中的数学技巧。
以下默认求导是对$z$求导，求和符号的上指标默认为$\infty$(或根据语境决定)。
由于时间过于紧张，有问题请下课后问我。
称一个幂级数$F(x)$在$\mathbf{K}[x]$上是代数的，当且仅当在$\mathbf{K}[x,y]$上存在二元非零多项式$G(x,y)$，使得$G(x,F(x))=0$，也就是$(x,F(x))$是$G$的一个根。这里$\mathbf{K}[x]$是系数在$\mathbf{K}$的多项式组成的环，$\mathbf{K}[x,y]$就是二元多项式。
如果一个幂级数满足一个线性齐次微分方程，那么它就是微分有限的，注意微分方程里的系数可以是多项式，而不必是常数。代数幂级数都是微分有限的。
呃你说什么是线性齐次微分方程?线性大家都知道，齐次就是除了$f^{(i)}$的项以外没有别的项了，比如不会有常数或者常多项式。
容易知道所有代数生成函数都是微分有限的，它们的微分方程甚至不需要包含它们的导数。
根据这个微分方程容易推出它系数的递推式，由于求导相当于平移一位再乘上某些系数，这个递推式的形式一定是
$$ p_0(n)f_n+p_1(n)f_{n-1}+...=0 $$，其中$p_i$是一个多项式，这个形式被称为P-递归。事实上，一个幂级数的系数是P-递归的，当且仅当它微分有限，这是容易理解的。
接下来我们会用到一个超几何函数，超几何函数是一类重要的微分有限生成函数，由于时间关系我们不作过多解释，这里只写出它满足的微分方程。
$$ F(z)=\sum_{i=0}i!z^i\ :\ z^2F^\prime(z)+(z-1)F(z)+1=0 $$关于微分有限，有以下的封闭性 :
微分有限生成函数之间进行四则运算，结果仍然是微分有限的。
微分有限生成函数复合代数生成函数，结果仍然是微分有限的。
这可以成为我们做一些推导的理论基础。
计数长为$n$，且没有两个相邻的数在数值上也相邻的排列数量。$n\leq 10^7$，答案对$10^9+7$取模。
题目来源 : 知乎
容斥。钦定$k$个不符合要求的间隔(就是让这些间隔两边的数在数值上相邻)，容斥系数就是$(-1)^k$。
然后考虑这样搞的方案数，发现有些钦定的间隔可能造成了一些连续段(呃就是对于每个钦定的间隔，我们把它两边的东西连起来)，每一段有两种排法，不过如果长为$1$则只有一种。如果长是$l$，它对容斥系数的贡献是$(-1)^{l-1}$(，这个情况对答案的贡献就是这些东西乘起来)。
考虑这么做 : 我们对于每一段求出它的普通生成函数(OGF)，然后直接枚举有多少段，做一个幂来拼接。这个OGF就是 :
$$ T(z)=z+2\sum_{i=2}(-z)^{i-1}=z+2\frac{-z}{1+z}=\frac{z(1-z)}{1+z} $$至于拼接，我们考虑枚举段数，可以写出
$$ G(z)=\sum_{i=0}i!z^i $$，这个东西含义是，对于每一段分配一个rank，另外这就是刚才我们说的那个微分有限生成函数，它满足方程
$$ G(z)=\sum_{i=0}i!z^i\ :\ z^2G^\prime(z)+(z-1)G(z)+1=0 $$直接代入$T$!过程过于繁琐，总之利用复合的求导法则，最后可以得到
$$ F^\prime(z)=\frac{z^2+2z-1}{z^4-2z^3+z^2}\left(\frac{1+z^2}{1+z}F(z)-1\right) $$先干掉分数，转成看起来可以提取系数的形式，然后直接两边取$[z^n]$，过程也很繁琐故省略 :
$$ \begin{aligned} f_n&=(n+1)f_{n-1}-(n-2)f_{n-2}-(n-5)f_{n-3}\\&+(n-3)f_{n-4}+[n=0]-[n=1]-3[n=2]-[n=3] \end{aligned} $$这就得到了简单的的递推式。是不是很刺激?